Energie cinetică

De la Capisci

Energia cinetică este energia de mişcare a unui corp. Imaginaţi-vă un asteroid cât un munte care se mişcă prin spaţiu cu o viteză astronomică; dacă legăm un cablu de asteroid şi conectăm un generator electric la mosorul cablului atunci exploatăm tocmai energia cinetică a asteroidului.

Cuprins

Explorând valoarea intuitivă, deşi greşită

Dacă efectuaţi lucru mecanic asupra unui corp care se mişcă liber înseamnă prin definiţie că-i transferaţi o cantitate oarecare de energie – lucrul mecanic nu este decât un transfer de energie, în ultimă instanţă. Dar legea conservării energiei ne spune că acea energie nu se pierde, deci trebuie să se transforme în ceva. Dacă mişcarea obiectului este verticală, în câmpul gravitaţional al Pământului, atunci energia pe care o pierdeţi se regăseşte sub formă de energie potenţială – o puteţi recupera coborând obiectul la poziţia iniţială. Însă dacă mişcarea este orizontală (iar frecarea este neglijabilă) atunci energia pe care o transferaţi se transformă în energie cinetică: investiţia dumneavoastră de energie este răsplătită prin simplul fapt că acum obiectul se mişcă.

În exemplul de deasupra este de la sine înţeles că o cantitate constantă de lucru mecanic se transformă într-o cantitate constantă de energie cinetică, datorită legii conservării energiei. Însă chiar investind o cantitate constantă de energie în acest proces, un obiect mai mic va putea fi adus la o viteză mai mare decât unul mai mare. Mai exact, pentru acelaşi lucru mecanic un obiect cu o masă mai mare va putea fi accelerat până la o viteză mai mică decât un obiect cu masă mai mică. Altfel spus, masa şi viteza trebuie să fie într-un fel sau altul invers proporţionale pentru obiecte cu aceeaşi energie cinetică:

$m \approx \frac 1 v$

Dacă aşa ar sta lucrurile (dar nu stau chiar aşa^[1], după cum vom vedea mai jos), atunci energia cinetică ar fi

$E_{c\ gresita} = m \cdot v$

Cam asta e abordarea intuitivă a unui om obişnuit. Înainte de a merge mai departe cu formulele hai să explorăm un pic implicaţiile conceptului de energie cinetică la nivel intuitiv şi aplicaţiile în practică. Am spus mai sus că dacă mişcarea pe care cheltuiţi lucru mecanic este orizontală, atunci în condiţiile în care frecarea este neglijabilă lucrul mecanic se transformă în energie cinetică. Dar dacă frecarea nu este neglijabilă? Dacă ne gândim de exemplu la mutatul unui dulap? Dacă încercaţi să mutaţi singur mobila prin casă nu prea reuşiţi să-i imprimaţi cine ştie ce energie cinetică, nu-i aşa? Practic tot lucrul mecanic pe care-l cheltuiţi se transformă în căldură, în urma frecării dintre picioarele mobilei şi podea. Dar şi inversul este valabil: dacă reuşiţi să imprimaţi unui corp o cantitate semnificativă de energie cinetică, atunci pentru a-l opri trebuie să transformaţi energia cinetică a corpului în căldură, prin frecare.^[2]

Să spunem că mergeţi cu maşina. Masa maşinii este constantă, deci nu e nevoie să ne batem capul cu ea.^[3] Dacă aţi accelerat până la o viteză oarecare, să spunem 50 km/h, atunci energia dumneavoastră cinetică este, conform formulei (greşite) de mai sus

$E_{c50\ gresita} = m \cdot 50$

Sigur, folosesc un sistem de unităţi caraghios, fiindcă în SI folosim de fapt metrii pe secundă pentru viteză – însă vreau să fac doar o prezentare intuitivă, iar formula este oricum greşită, deci nu contează. Dacă depăşiţi viteza legală din oraş cu 10 km/h aţi avea, conform formulei noastre greşite, o energie cinetică

$E_{c60\ gresita} = m \cdot 60$

Să ne gândim acum ce se întâmplă când acţionaţi frânele. Apăsând pedala de frână, acţionaţi nişte plăcuţe (plăcuţele de frână) care presează pe un disc (discul de frână); discul este asamblat unitar cu roata, aşa că frecarea plăcuţelor pe disc încetineşte roţile, deci încetineşte maşina. Ştim însă că frecarea este proporţională cu forţa normală (forţa cu care aplicaţi plăcuţele pe disc) şi coeficientul de frecare (coeficient care depinde de calităţile maşinii).^[4] Dacă vă sare un copil în faţă, indiferent de viteza cu care mergeţi, veţi apăsa frâna până la fund – deci forţa normală este aceeaşi. Coeficientul de frecare este în mod evident şi el acelaşi indiferent la ce viteză apăsaţi pedala de frână. Aşadar forţa de frecare este constantă, indiferent de viteza la care vă sare un copil în faţă.

Dumneavoastră trebuie să folosiţi forţa de frecare pentru a transforma energia cinetică a maşinii în căldură, oprind astfel maşina. Mai exact, cheltuiţi energie cinetică pe lucrul mecanic efectuat prin frecare. Dar lucrul mecanic efectuat prin frecare este definit prin formula generică

$L_f = F_f \cdot d$

Ştim însă că discul pe care presează plăcuţa de frână este montat pe axul roţii, deci distanţa d din formula de deasupra este direct proporţională cu distanţa pe care o parcurge maşina până se opreşte, iar proporţia este constantă pentru o maşină dată. Deci în formula de deasupra forţa de frecare este constantă iar distanţa este proporţională cu distanţa de frânare. Dar pentru a opri complet maşina trebuie să cheltuim toată energia cinetică a maşinii pe lucru mecanic efectuat prin frecare, aşadar trebuie să ajungem la

$E_c = L_f = F_f \cdot d$

Dat fiind că F_f este constant, rezultă că

$E_c \approx d$ ,

unde d este distanţa de frânare. Ceea ce este acelaşi lucru cu a spune că distanţa de frânare este direct proporţională cu energia cinetică a maşinii. Această afirmaţie este corectă – ea nu se bazează în niciun fel pe formula noastră greşită pentru energia cinetică.

Dar să revenim la formula noastră intuitivă pentru energia cinetică. Am considerat că energia cinetică este direct proporţională cu viteza, ceea ce ar însemna că distanţa de frânare ar fi şi ea direct proporţională cu viteza. Dacă aşa ar sta lucrurile, atunci raportul dintre distanţa de frânare pentru 50 km/h şi 60 km/h ar fi

$r_{gresit} = \frac {E_{c60\ gresita}} {E_{c50\ gresita}} = \frac {60} {50} = 1,2 = 120%$

La nivel intuitiv, aceasta este impresia tuturor conducătorilor auto – diferenţa dintre distanţa de frânare la 60 km/h şi distanţa de frânare la 50 km/h pare să fie nesemnificativă, conform formulei de deasupra. Să verificăm însă formula noastră pentru energia cinetică.

În căutarea formulei corecte

Determinarea matematică a formulei energiei cinetice este un pic dificilă dacă pornim de la principii de bază, fiindcă implică nişte analiză matematică. Ca să ocolim formulele prea complicate hai să trişăm un pic şi să ne folosim de legea conservării energiei.^[5] Să spunem că dăm drumul unei bile de masă m de la o înălţime h în absenţa frecării. În poziţia iniţială bila noastră ar avea energia potenţială

$E_p = m \cdot g \cdot h$

Odată ajunsă pe pământ, energia potenţială ar fi nulă, deci toată se va fi transformat în energie cinetică. Să vedem deci care este viteza finală a bilei noastre, atunci când atinge pământul:

$v_f = g \cdot t \qquad (1)$

unde t este timpul necesar bilei să cadă de la înălţimea h. Ştim însă că

$h = \frac {g \cdot t^2} 2$

deci

$t = \sqrt {\frac {2 \cdot h} g}$

Înlocuind în (1),

$v_f = g \cdot t = g \cdot \sqrt {\frac {2 \cdot h} g} = \sqrt {g^2 \cdot \frac {2 \cdot h} g} = \sqrt {2 \cdot g \cdot h}$

Dar am pornit de la presupunerea că energia potenţială iniţială s-a transformat în energie cinetică, deci

$E_p = m \cdot g \cdot h = E_c$

Însă dacă am folosi formula noastră greşită pentru energie cinetică am obţine:

$m \cdot g \cdot h = E_p \ne E_{c\ gresit} = m \cdot v_f = m \cdot \sqrt {2 \cdot g \cdot h}$

Pentru a obţine egalitate între membrul stâng şi membrul drept trebuie în mod evident să ajustăm formula noastră greşită, ceea ce ne duce în sfârşit la formula energiei cinetice:

$E_c = \frac {m \cdot v^2} 2$

Într-adevăr,

$m \cdot g \cdot h = E_p = E_c = m \cdot \frac {{v_f}^2} 2 = m \cdot \frac {2 \cdot g \cdot h} 2 = m \cdot g \cdot h$

Implicaţii practice

Aşadar în realitate energia cinetică a maşinii la 50 km/h, respectiv 60 km/h este

$E_{c50} = m \cdot \frac {(50 \cdot a)^2} 2$

$E_{c60} = m \cdot \frac {(60 \cdot a)^2} 2$

unde a este un coeficient de conversie de la kilometri pe oră la metri pe secundă (mai exact a=3,6).

Distanţa de frânare

Prin urmare raportul real dintre distanţa de frânare la 60 km/h şi la 50 km/h este

$r = \frac {E_{c60}} {E_{c50}} = \frac {m \cdot \frac {(60 \cdot a)^2} 2} {m \cdot \frac {(50 \cdot a)^2} 2} = \frac {(60 \cdot a)^2} {(50 \cdot a)^2} = \frac {3600 \cdot a^2} {2500 \cdot a^2} = \frac {3600} {2500} = 1,44 = 144%$

Cu alte cuvinte energia cinetică, respectiv distanţa de frânare, este cu aproape 50% mai mare pentru această diferenţă minoră de viteză. Aţi observat probabil că, după toate simplificările din formulele de mai sus, raportul dintre distanţele de frânare variază de fapt cu pătratele vitezelor pe care le comparăm:

$r = \frac {v_1^2} {v_2^2}$

Prin urmare pentru diferenţe mai mari de viteză, diferenţa dintre distanţele de frânare creşte spectaculos – de exemplu raportul dintre distanţa de frânare la 70 km/h şi 50 km/h este

$r = \frac {70^2} {50^2} = \frac {4900} {2500} = 1,96 = 196%$

Adică pentru o creştere de 40% a vitezei distanţa de frânare se dublează! Acesta este motivul pentru care legislaţia rutieră este atât de strictă în ceea ce priveşte limitele de viteză.

Consumul de combustibil

Până acum am analizat energia cinetică a unei maşini prin prisma efortului de a opri maşina, adică lucrul mecanic efectuat prin frecare pentru a ajunge de la o valoare oarecare a energiei cinetice la o valoare nulă a energiei cinetice. Vă daţi seama că lucrurile sunt perfect simetrice şi dacă ne gândim la lucrul mecanic necesar pentru a ajunge de la o valoare nulă a energiei cinetice la o valoare oarecare. Singura diferenţă este că în loc să irosim lucru mecanic pe frecare pentru a frâna, investim lucru mecanic pentru a accelera, însă valorile sunt exact aceleaşi.

Prin urmare toate rapoartele pe care le-am calculat mai sus se aplică în exact aceeaşi formă şi dacă ne întrebăm care este raportul dintre cantitatea de carburant necesar pentru a accelera până la 60 km/h şi cantitatea de carburant necesară pentru a accelera până la 50 km/h: tot 144%. Gândiţi-vă la traficul urban: acceleraţi până la o viteză oarecare, investind carburant pentru a obţine energie cinetică. După 300 de metri vine un semafor, aşa că opriţi maşina irosind pe frecare aproape tot carburantul pe care l-aţi investit mai devreme. Acceleraţi din nou, opriţi din nou şi aşa mai departe. Sigur că acest proces este inerent traficului din oraşe, însă există un clenci: dacă acceleraţi până la 60 km/h irosiţi la următorul semafor cu aproape 50% mai mult carburant decât maşina care a accelerat până la 50 km/h! Da, poate că veţi câştiga câţiva metri în faţa acelei maşini, dar după cum vedeţi consumul suplimentar de combustibil este cu totul disproporţionat prin comparaţie.

Note

↑ Se poate vedea uşor că formula este greşită, analizând unităţile de măsură. În formula pe care o propunem aici energia cinetică ar fi masă * viteză, adică kg · m / s – dar ştim că joulii sunt echivalenţi cu kg · m² / s².
↑ Mă rog, puteţi să-i „cheltuiţi” energia cinetică pe orice altă formă de energie, de exemplu generând energie electrică folosind un generator, energie potenţială montând o rampă în faţa obiectului în mişcare, sau orice altă formă de energie doriţi.
↑ Dacă vreţi să fiţi chiţibuşar o să spuneţi că nu e chiar constantă fiindcă se consumă combustibil, dumneavoastră scădeţi în greutate prin transpiraţie şi aşa mai departe. Veţi vedea mai jos că genul ăsta de variaţii sunt întru totul insignifiante faţă de uriaşele diferenţe dintre energia cinetică percepută intuitiv şi cea reală.
↑ În realitate relaţia este mai complicată, fiindcă depinde şi de aderenţa anvelopelor pe asfalt – degeaba blocaţi roţile pe polei, maşina va aluneca înainte. Aici analizăm situaţia ideală în care nu există alunecare între anvelopă şi suprafaţa drumului.
↑ Fizicienii nu procedează aşa fiindcă legea conservării energiei n-ar putea fi demonstrată în absenţa formulei pentru energia cinetică – trucul nostru ar crea o relaţie circulară între energia cinetică şi legea conservării energiei, aşa că până la urmă niciuna dintre ele nu ar fi fundamentate matematic.

[0] Se poate vedea uşor că formula este greşită, analizând unităţile de măsură. În formula pe care o propunem aici energia cinetică ar fi masă * viteză, adică kg · m / s – dar ştim că joulii sunt echivalenţi cu kg · m² / s².

[1] Mă rog, puteţi să-i „cheltuiţi” energia cinetică pe orice altă formă de energie, de exemplu generând energie electrică folosind un generator, energie potenţială montând o rampă în faţa obiectului în mişcare, sau orice altă formă de energie doriţi.

[2] Dacă vreţi să fiţi chiţibuşar o să spuneţi că nu e chiar constantă fiindcă se consumă combustibil, dumneavoastră scădeţi în greutate prin transpiraţie şi aşa mai departe. Veţi vedea mai jos că genul ăsta de variaţii sunt întru totul insignifiante faţă de uriaşele diferenţe dintre energia cinetică percepută intuitiv şi cea reală.

[3] În realitate relaţia este mai complicată, fiindcă depinde şi de aderenţa anvelopelor pe asfalt – degeaba blocaţi roţile pe polei, maşina va aluneca înainte. Aici analizăm situaţia ideală în care nu există alunecare între anvelopă şi suprafaţa drumului.

[4] Fizicienii nu procedează aşa fiindcă legea conservării energiei n-ar putea fi demonstrată în absenţa formulei pentru energia cinetică – trucul nostru ar crea o relaţie circulară între energia cinetică şi legea conservării energiei, aşa că până la urmă niciuna dintre ele nu ar fi fundamentate matematic.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]