Separarea unui număr arbitrar de puncte

De la Capisci

Salt la: navigare, căutare

Nu mai ştiu în ce carte am găsit această problemă, dar e prea frumoasă ca s-o ţin doar pentru mine, chit că publicând-o în felul acesta nu voi avea vreo permisiune nici de la autorul problemei, nici de la autorul rezolvării. Poate vreun cititor îmi va aduce aminte în ce carte am văzut-o. Era o carte micuţă, în Editura Ştiinţifică, de popularizare, apărută prin 1970 - 1980...

Problema

Dându-se un cerc în care se găsesc exact 2.000.000 (două milioane) de puncte, se cere să se răspundă la întrebările:

  1. Există o dreaptă care să separe punctele în câte un milion de puncte de o parte şi de alta a ei?
  2. Dacă dreapta există într-adevăr, cum poate fi ea trasată?

Rezolvare

În definiţia problemei am presupus că punctele sunt distribuite aleator. Iată în figură aceste puncte:

Fişier:Multe_puncte_001.png

Mai întâi, ne închipuim că am unit toate cele două milioane de puncte, două câte două, prin câte o dreaptă (oare câte drepte ar fi acolo?). Dreptele ies din cerc şi se duc la infinit, jur-împrejurul cercului, aproape umplând planul de negreală, ca în figura:

Fişier:Multe_puncte_002.png

Şi totuşi... totuşi, undeva în afara cercului, vom găsi un punct care nu se află pe nici o dreaptă; ce ziceţi, găsim? Ştim că dreptele au grosime nulă, deci găsim o infinitate de astfel de puncte – iar nouă nu ne trebuie decât unul dintre ele. Având noi acel punct care nu se află pe nici o dreaptă notat cu A, ducem prin el o tangentă la cerc, ca în figura:

Fişier:Multe_puncte_003.png

În continuare, începem să rotim uşurel tangenta în jurul punctului A către cerc, adică în sensul săgeţii din figura de mai jos. Evident, imediat ce am început s-o rotim aceasta nu mai este tangentă, însă am notat-o la fel ca mai sus pentru consecvenţă.

Fişier:Multe_puncte_004.png

Acuma fiţi atenţi la raţionament: când „tangenta” în rotaţia ei începe să intre în cerc, va atinge un punct şi numai unul din cele două milioane de puncte! De ce? Păi am presupus că punctul A nu se găseşte pe niciuna dintre dreptele care unesc punctele, aşadar n-ar avea cum să atingă mai mult de un singur punct odată!

De acum este uşor: după ce am trecut de primul punct, continuăm să rotim „tangenta” în jurul lui A şi atingem un al doilea punct – şi numai unul – din aceleaşi considerente ca şi la primul...

Cu alte cuvinte, rotind dreapta în jurul punctului A noi numărăm punctele din interiorul cercului, nu-i aşa? Cum tocmai am trecut de două puncte, putem să trecem şi de un milion de puncte! Timp să avem, or în geometrie şi în matematici, în general, avem întotdeauna timp berechet...

Iată că am ajuns la rezultat: de o parte şi de alta a dreptei avem câte un milion de puncte! Aceasta este una dintre infinit de multele drepte posibile şi chiar aceasta este şi metoda de a o găsi.

Superb!