Perpendiculara comună a două drepte disjuncte în spaţiu

De la Capisci

Salt la: navigare, căutare

Perpendiculara comună a două drepte disjuncte în spaţiu este o problemă clasică de geometrie în spaţiu. Care este problema şi – mai ales – care este rezolvarea ei?

Problema

Dându-se două drepte disjuncte în spaţiu A şi B (care nu se întâlnesc niciodată), se cere să se determine perpendiculara lor comună. Segmentul de dreaptă aflat pe această perpendiculară comună între dreptele date este, de fapt, distanţa între cele două drepte, adică distanţa minimă între ele. Până la urmă, aceasta este şi raţiunea pentru care problema prezintă interes practic: dacă într-o instalaţie se găsesc două conducte cu orientare indiferentă în spaţiu, cum găsim traseul conductei cu lungimea minimă care le leagă?

Fişier:Perp com 001.png

În figura de mai sus se văd cele două drepte (de fapt, am figurat două segmente de dreaptă). Pentru o mai bună reprezentare în spaţiu vom folosi un mic artificiu, construind proiecţii vizibile ale celor două segmente pe un plan oarecare:

Fişier:Perp com 002.png

Se observă uşor că acestea, deşi nu sunt paralele, nu se vor întâlni oricât le-am prelungi. Dacă ne raportăm din nou la aspectul practic, din moment ce căutăm o perpendiculară comună, înseamnă că acea conductă va fi inserată în instalaţie intercalând două „teuri” obişnuite, la 90°, care compun o conexiune perpendiculară ordinară, nu-i aşa?

Rezolvare

Vom oferi aici o rezolvare sintetică a problemei, pas cu pas.

Alegem un punct oarecare pe dreapta A şi trasăm prin el o paralelă B' la dreapta B:

Fişier:Perp com 003.png

Prin construcţie, dreapta B' intersectează dreapta A, aşa că putem defini planul [P] care le conţine:

Fişier:Perp com 004.png

Coborâm pe [P] proiecţia B'' a dreptei B.[1]

Fişier:Perp com 005.png

Prin construcţie dreptele B'' şi B sunt paralele, deci coplanare; definim planul [Q] ca fiind planul ce le conţine.

Fişier:Perp com 006.png

Prin construcţie planul [Q] intersectează dreapta A; notăm cu I punctul de intersecţie şi coborâm din I perpendiculara C la dreapta B în planul [Q].

Fişier:Perp com 007.png

Dreapta C este chiar perpendiculara comună a celor două drepte.

Într-adevăr, planurile [P] şi [Q] sunt perpendiculare prin construcţie, deci orice dreaptă perpendiculară pe linia lor de intersecţie într-unul dintre planuri va fi perpendiculară pe celălalt, deci pe toate dreptele conţinute în acesta, iar dreapta C satisface această condiţie – ştim deci că C este perpendiculară atât pe A cât şi pe B. Dar le intersectează? Da, C intersectează atât A (pentru că trece prin I, care a fost ales pe A) cât şi B (pentru că a fost construită ca perpendiculară la aceasta).

Note

  1. Pentru a obţine proiecţia dreptei pe plan nu trebuie decât să coborâm perpendicularele pe plan din două puncte oarecare ale dreptei, iar apoi să unim picioarele celor două perpendiculare.