Numere normale

De la Capisci

Salt la: navigare, căutare

Numerele normale sunt o formă convenabilă de standardizare a mărimilor pentru producţie industrială, însă prezintă interes pentru mai multe domenii de activitate din cauza proprietăţilor lor.

Cuprins

Cine şi de ce?

Imaginaţi-vă că sunteţi un inginer mecanic şi vă propuneţi să proiectaţi un mecanism oarecare. Oricât ar fi de complicat mecanismul, în general el trebuie să atingă doar câteva obiective funcţionale – să se învârtă cu o anumită viteză, să se mişte de aici până acolo, să apuce cine ştie ce drăcovenie, chestii de-astea. Totuşi ca să atingă aceste obiective mecanismul poate avea aproape oricâte de piese intermediare în interior, piese pe care le proiectăm noi de la zero. Toate aceste piese intermediare nu trebuie decât să se conecteze unele cu altele, ele nu sunt în general gândite să interacţioneze în vreun fel cu exteriorul mecansimului. Prin urmare am putea prescrie în proiectul nostru orice cote ne trec prin cap – imaginaţi-vă că, la limită, am putea pretinde să includem şuruburi atipice care trebuie produse special pentru acest mecanism, şuruburi care intră în găuri date cu burghie cu diametre atipice, produse special pentru acest mecanism, piuliţe atipice, şaibe atipice, totul ar putea fi prescris în proiect în orice fel ni s-ar năzări.

E evident că nicio fabrică n-ar vrea să producă un asemenea produs, afară de cazul că există motive foarte întemeiate – altfel costurile ar fi nejustificat de mari şi produsul nu s-ar vinde. Pentru a evita această situaţie, inginerii folosesc piese standardizate de fiecare dată când este posibil; sigur, din cauza rotunjirii în plus, asta va face ca şuruburile să fie aproape întotdeauna supradimensionate, dar costurile sunt chiar şi aşa mai mici decât dacă s-ar folosi piese nestandard.

Până aici, la mintea cocoşului... Dar nu uitaţi că şuruburile, piuliţele, şaibele, şplinturile şi rulmenţii sunt cam singurele componente care se cumpără de la prăvălie – restul mecanismului este în continuare dimensionat după cum ne-a trecut nouă prin cap. Gândiţi-vă de exemplu la raza de rotunjire a unei muchii, la raportul de conicitate al unei piese tronconice, la unghiuri, diametre sau dimensiuni în general. Toate aceste cote sunt până la urmă prelucrate cu câte un burghiu, o freză, un cuţit de strung, o broşă sau altă unealtă. Unealtă care trebuie să se afle în fabrică, sau măcar să se poată cumpăra. Apare astfel ideea că ar fi bine dacă am putea standardiza şi cotele, nu numai piesele!

Prima persoană care a avut ideea asta a fost un francez pe nume Charles Renard. Domnul Renard s-a născut în 1847 şi a ajuns pe front în războiul franco-prusac din 1870-1871 ca inginer militar. Aici i-a venit ideea de a inventa un dirijabil capabil să plece de undeva şi să revină în acelaşi punct – rezultatul a fost dirijabilul La France, primul aparat de zbor capabil să se întoarcă în punctul de unde a decolat (uşor de imaginat că asta e o trăsătură utilă pentru un dirijabil aflat pe front).

Armata franceză avea totuşi o problemă cu baloanele ancorate la sol, folosite pentru observarea poziţiilor inamice de la înălţime: pentru a obţine întreaga gamă de combinaţii de frânghii necesare în diverse situaţii, armata păstra un stoc permanent de 425 de mărimi de frânghie – imaginaţi-vă ce nostim trebuie să fi fost, dat fiind că toate aceste 425 de frânghii lungi şi groase erau cărate în haosul de pe front, iar acolo trebuia identificată anume frânghia necesară pentru fiecare situaţie. Colonelul Renard a analizat problema în 1877 şi a constatat că poate reduce numărul de frânghii de la 425 la numai 17, obţinând practic aceleaşi rezultate!

Cum se obţin

Imaginaţi-vă problema lui Renard: trebuie identificate o serie de mărimi care să poată fi folosite în cele mai diverse situaţii cu rezultate acceptabile. O variantă ar fi o serie aritmetică, de exemplu

10, 20, 30, 40,...

Cu alte cuvinte, fiecare membru al seriei este membrul anterior plus o cantitate constantă. Seriile aritmetice au însă o problemă: cresc prea repede la începutul seriei şi prea încet mai târziu. Imaginaţi-vă că Renard ar fi ales frânghii de 10 metri, 20 de metri, 30 de metri şi aşa mai departe. El n-ar fi avut la dispoziţie frânghii de 7 metri sau 15 metri, poate necesare în zile cu vânt, dar fi avut la dispoziţie frânghii de 120 de metri, 130 de metri şi 140 de metri, diferenţe care ar fi fost inutile.[1]

O variantă cu mult mai bună ar fi o serie geometrică:

10, 16, 25, 40, 63, 100, ...

Aici fiecare membru este anteriorul înmulţit cu o valoare constantă şi rotunjit la cea mai apropiată valoare întreagă. Seriile geometrice au două avantaje. În primul rând, ele cresc într-un mod mai potrivit aplicaţiilor practice, având diferenţe mai mici la valori mai mici şi diferenţe mai mari la valori mai mari. În al doilea rând, o serie geometrică poate fi extinsă în ambele direcţii: în cazul seriei aritmetice de mai sus, elementul anterior lui 10 ar fi fost 10-10=0. În cazul seriei geometrice de deasupra, elementul anterior lui 10 ar fi 6, înaintea acestuia ar fi 4, înaintea acestuia 3 şi aşa mai departe (sigur că la valori mai mici ar fi necesar să începem să folosim şi zecimale, dar principiul contează).

Renard însă a propus nu numai un principiu ci şi nişte serii anume, pe care le-a considerat potrivite aplicaţiilor practice.

Seriile normale în uz

Seriile lui Renard s-au dovedit atât de universale în contextul producţiei industriale încât au ajuns să facă parte din standardele naţionale şi internaţionale[2] – în limba română, ele au fost preluate sub numele de serii normale, sau şiruri normale. Seriile fundamentale normale se notează în onoarea lui Renard cu litera R urmată de un număr: R5, R10, R20, R40. Toate seriile conţin puterile întregi ale lui 10, iar numerele din nume sunt legate de raportul dintre membrii seriei:

r_{R5} = \sqrt[5]{10}
r_{R10} = \sqrt[10]{10}
r_{R20} = \sqrt[20]{10}
r_{R40} = \sqrt[40]{10}

Astfel, dacă ne uităm la R5 în jurul valorii 10, am avea:

\ldots 10\cdot\frac{1}{\sqrt[5]{10}}\cdot\frac{1}{\sqrt[5]{10}},\ 10\cdot\frac{1}{\sqrt[5]{10}},\ 10,\ 10\cdot\sqrt[5]{10},\ 10\cdot\sqrt[5]{10}\cdot\sqrt[5]{10},\ \ldots

Cum \sqrt[5]{10}\ \approx\ 1,5849, valorile sunt

\ldots \frac{10}{1,5849^2},\ \frac{10}{1,5849},\ 10,\ 10\cdot1,5849,\ 10\cdot1,5849^2 \ldots

Dacă facem calculele obţinem valorile rotunjite

\ldots 4,\ 6,3,\ 10,\ 15,\ 25 \ldots

Acum vă daţi seama că \sqrt[5]{10} > \sqrt[10]{10} > \sqrt[20]{10} > \sqrt[40]{10}, deci R40 va produce o serie cu numere mult mai apropiate între ele decât R5. Uneori însă e nevoie de numere chiar mai apropiate între ele – sau, mai exact, e nevoie de valori mai precise.[3] Cele mai „dese” valori se găsesc în seria R80, serie care conţine toţi membrii seriei R40, cu unica diferenţă că între fiecare doi membri din R40 se găseşte câte un membru intermediar care este media aritmetică a acestora. În afară de şirurile fundamentale şi de R80, standardele mai precizează o sumă de combinaţii acceptate de şiruri pentru a obţine valori de aceeaşi natură, aplicabile în diverse situaţii specifice (şiruri derivate, decalate, rotunjite). De exemplu R20/2 ar fi elementele din seria R20 luate din două în două, R20/3 ar fi cele luate din trei în trei şi aşa mai departe; acestea sunt şirurile derivate şi includ întotdeauna valoarea 1.

Proprietăţi şi aplicabilitate

Şirurile normale au câteva proprietăţi interesante. De exemplu, şirurile fundamentale conţin întotdeauna toate puterile lui 10, atât pozitive cât şi negative. Din această cauză ele au fost adoptate în primul rând în standardele metrice şi în mediile în care se lucrează mult cu Sistemul Internaţional.

Altă proprietate utilă este faptul că toate elementele din seriile mai puţin „dense” se regăsesc în seriile mai „dense”:

{R5}\subset{R10}\subset{R20}\subset{R40}\subset{R80}

Ştim prin definiţie că

{R40}\subset{R80}

Iar celelalte relaţii pot fi uşor demonstrate: pornind de la valoarea 1, R5 este

1, \sqrt[5]{10}, \ldots

Iar R10 este

1, \sqrt[10]{10}, \sqrt[10]{10}\cdot\sqrt[10]{10}, \ldots

Însă

\sqrt[10]{10}\cdot\sqrt[10]{10}=\left ( \sqrt[10]{10} \right )^2 = \sqrt[5]{10}

Deci R10 conţine toţi membrii lui R5, plus câte un membru intermediar; R20 conţine câte unul între fiecare doi din R10, iar R40 câte unul între fiecare doi din R20 (motiv pentru care R80 a fost definit într-un fel similar).

Şirurile lui Renard sunt specificate explicit în standarde inginereşti pentru dimensiuni liniare, raze de racordare, înălţimi de axe, unghiuri şi conicităţi. Însă cu puţină îngăduinţă le veţi regăsi şi în alte domenii, din cauza unei alte proprietăţi foarte interesante. Se întâmplă că şirurile normale sunt foarte aproape legate şi de puterile lui 2. Astfel, raportul dintre membrii şirului R5 diferă cu doar 0,16% de \sqrt[3]{2^2}, R10 cu doar 0,08% de \sqrt[3]{2}, R20 cu 0,04% de \sqrt[6]{2}, iar R40 cu 0,02% de \sqrt[12]{2}.

R20 în fotografie

Pentru a expune corect o fotografie trebuie să bombardăm filmul sau senzorul camerei digitale cu o cantitate tocmai potrivită de lumină – dacă e prea multă suprasaturăm senzorul sau voalăm filmul şi pierdem detalii, iar dacă e prea puţină raportul dintre semnal şi zgomot devine prea mare pentru a mai utiliza imaginea rezultată. Or cantitatea de lumină care ajunge să fie procesată pentru o fotografie în cadrul unei scene oarecare este dată de deschiderea diafragmei şi de timpul de expunere – pur şi simplu se înmulţeşte timpul cu aria prin care poate pătrunde lumina, asta-i tot.

Dat fiind că există o relaţie atât de directă între timpul de expunere şi diafragmă, ar fi convenabil ca valorile disponibile pentru cele două să fie alese într-un fel care să ne permită cât mai multă flexibilitate creativă cu cât mai puţin efort. Vă daţi seama de exemplu că dacă identificăm valori multiple pentru care cantitatea de lumină pentru expunere este aceeaşi atunci am putea jongla cu diversele combinaţii valide pentru efecte fotografice.[4] Să vedem dacă ne pot ajuta şirurile normale aici.

Deschiderea diafragmei pe care o alegem atunci când facem o fotografie este raza unui cerc prin care permitem luminii să pătrundă; prin urmare cantitatea de lumină care pătrunde în unitatea de timp este proporţională cu pătratul valorii pe care o alegem noi. Dar dacă aruncăm o privire la R20 observăm că luate din trei în trei, elementele din serie au un raport de aproape exact \sqrt{2} – într-adevăr, dacă raportul dintre două elemente vecine este \sqrt[6]{2}, atunci când ne uităm peste trei elemente raportul este \left ( \sqrt[6]{2} \right )^3 = \sqrt[2]{2}. Cu alte cuvinte, termenii din R20/3 ridicaţi la pătrat au raportul de aproape exact 2 între ei. Din acest motiv valorile standard pentru deschiderea diafragmei sunt luaţi ca atare din R20/3, în aşa fel încât fiecare pas de deschidere a diafragmei dublează cantitatea de lumină pe unitatea de timp, în timp ce fiecare pas de închidere o înjumătăţeşte:

R20/3 comparat cu valorile standard de deschidere a diafragmei
R20/3 Diafragma
2,81838 f/2,8
3,98107 f/4
5,62341 f/5,6
7,94328 f/8
11,22018 f/11
15,84893 f/16
22,38721 f/22

La aparatele fotografice se obişnuieşte să fie incluse însă şi subdiviziuni ale acestor deschideri standard, subdiviziuni care vin tocmai din trei în trei – adică exact elementele din R20!

Pe de altă parte timpul de expunere influenţează în mod liniar cantitatea finală de lumină care este procesată în cadrul unei expuneri – iar dacă aţi fost atenţi până aici vă veţi da seama că avem deja seria ideală pentru dublarea valorilor de la un termen la următorul: R20/6 – dacă raportul dintre doi termeni alăturaţi ai R20 este \sqrt[6]{2}, atunci luate din şase în şase valorile se dublează. Şi într-adevăr, valorile standard pentru expunere urmează modelul:

R20/6 comparat cu valorile standard ale timpilor de expunere
R20/6 Timp de expunere
În valori zecimale Aşa cum e indicat pe aparatul foto
0,001 0,001 1/1000
0,002 0,002 1/500
0,00398 0,004 1/250
0,00794 0,08 1/125
0,01585 0,01667 1/60
0,03162 0,03333 1/30
0,06310 0,06667 1/15
0,12589 0,12 1/8
0,25119 0,25 1/4
0,50119 0,5 1/2
1 1 1

După cum probabil vă aşteptaţi, dat fiind că există subdiviziuni din trei în trei pentru diafragmele standard, există subdiviziuni din trei în trei şi pentru timpii de expunere – deci aici veţi găsi valorile din R20/2.

Ceea ce este perfect logic: timpul de expunere are aceeaşi pondere ca pătratul razei diafragmei, deci alegem valori din doi în doi pentru timp (R20/2), dar folosim fiecare valoare pentru diafragmă (R20).

Veţi spune poate „bine, eşti bun, m-ai convins că fotografii au folosit R20 – dar dacă aveau nevoie să dubleze şi să înjumătăţească de ce n-au folosit puterile lui 2, de-a dreptul?” Pentru că puterile lui 2, deşi mai exacte decât seriile normale, nu duc la valori frumoase, rotunde – mai exact, nu conţin puterile lui 10 şi prietenii, cum ar fi 25, 50, 100. Seriile naturale nu conţin nici ele exact 25 sau 50, dar sunt suficient de aproape încât să nu conteze. În plus, avem garanţia că putem înmulţi orice valoare dintr-o serie normală cu 10 la orice putere şi nu va conta – putem să mutăm virgula unde vrem şi ne vom afla în aceeaşi serie. Prin contrast, puterile lui 2 nu au deloc tendinţa să se păstreze în jurul puterilor lui 10: 210=1024, dar 27=128. Aceasta este de altfel combinaţia de factori care face seriile lui Renard convenabile şi prin urmare foarte utile în multe domenii de activitate.

Note

  1. Nu cunosc nici măcar cu aproximaţie mărimile reale de care avea nevoie armata franceză, aşa că acest exemplu are numai caracter ilustrativ – e foarte posibil ca mărimile pe care le-am folosit aici să fie absurde în context, însă ilustrează bine conceptul.
  2. La noi, STAS 75-90 şi altele; internaţional, ISO 3:1973 şi altele.
  3. Atunci când se proiectează ceva, cotele rezultă cel mai des din calcule, nu din imaginaţia spumoasă a inginerilor proiectanţi. Inginerul caută apoi cea mai apropiată valoare dintr-o serie Renard, aproximând astfel valoarea obţinută la un număr normal. În funcţie de precizia necesară se foloseşte o serie sau alta – de pildă pentru lungimea unei cutii de pantori R5 este probabil suficientă, dar pentru diametrul unei fir de aur este important să nu se risipească material, deci se caută o valoare cât mai apropiată de cea calculată. Chestia cu firul de aur e un exemplu cam extrem, probabil că pentru un material atât de scump fabrica ar prefera să-şi fabrice propriile unelte decât să insiste pentru folosirea diametrelor normale, dar aţi înţeles care e ideea.
  4. Cu cât diafragma este mai închisă cu atât imaginea este mai clară în adâncime; în funcţie de subiect şi de situaţie este bine ca fotograful să aibă libertatea creativă de a-şi alege această profunzime fără să apeleze la un calculator de buzunar.