Numere negative

De la Capisci

Salt la: navigare, căutare

Numerele negative adunate cu un alt număr A duc la un rezultat mai mic decât A. Ceea ce este absolut caraghios.

Cuprins

Preambul

Înainte de a încerca să înţelegeţi numerele negative aş vrea să înţelegeţi numerele "normale" (pozitive) în alt fel decât le-aţi înţeles până acum. Ştim cu toţii cum arată axa numerelor:

Dacă aş vrea să reprezint numărul 3 pe axa numerelor aş face aşa:

Să spunem acum că aş vrea să reprezint pe axa numerelor adunarea

3 + 4 = 7

Varianta simplă ar fi să reprezint pur şi simplu numărul 7:

Dar eu nu vreau doar să arăt care este rezultatul -- vreau să arăt cum am obţinut rezultatul ăsta, deci am să fac aşa:

Observă că am pus un cerculeţ albastru acolo unde vreau să indic un număr oarecare şi o bulină portocalie acolo unde vreau să indic rezultatul unui calcul.

Superb, acum e clar... dar este oare? Adică e clar cum am ajuns de la 3 la 7, însă... de ce a pornit săgeata aia tocmai de la 3 şi nu din altă parte? Ştiu, pare evident: a pornit de la 3 fiindcă am vrut să calculăm "3 + 4", iar "3" este primul termen din adunare -- normal că pornim de la 3! Însă în matematică nu poţi niciodată să spui "păi normal că...". Imaginează-ţi că ai un coleg foarte, dar foarte prost, pe care-l cheamă Matematică: e prost săracu', trebuie să-i explici totul de la zero. Aşa că hai să luăm toată chestia asta de la zero, de dragul lui Matematică.

Până acum am tot făcut calculul "3 + 4 = 7" (mare calcul, ce să-ţi spun!). Dar încă n-am hotărât ce sunt alea 3 care se adună cu celelalte 4. Hai să zicem că sunt paşi făcuţi într-un joc video. Cu alte cuvinte, "3 + 4 = 7" s-ar traduce în cuvinte aşa: "dacă fac trei paşi şi pe urmă mai fac încă patru paşi înseamnă că în total am făcut şapte paşi".

Hei, dar stai o secundă, acum chiar începe să aibă sens întrebarea aia de mai devreme: "de ce a pornit săgeata aia tocmai de la 3?". Atunci când am început jocul făcusem deja 3 paşi?! Evident că nu -- la începutul jocului nu făcusem niciun pas! Mai pe înţelesul prostului de Matematică, la începutul jocului făcusem zero paşi:

0 + 3 + 4 = 7

Sau, pe axa numerelor:

Da, este caraghios să explici de ce 3 nu este doar 3 pur şi simplu, ci "0 + 3", însă este întotdeauna corect să faci asta. Nu contează dacă spui

3 = 0 + 3

sau

5 = 0 + 5

sau

138 = 0 + 138

pentru că întotdeauna este corect să spui că numărul "a" este de fapt "0 + a", oricare ar fi numărul a:

a = 0 + a

Ştiu că pare plictisitor până aici, dar nu uita: tu eşti un copil deştept, însă noi trebuie să-i explicăm toate astea lui Matematică, iar lui trebuie să-i explicăm totul foarte pe îndelete, că altfel nu înţelege nimic.

Primele numere negative

Hai să revenim acum la jocul nostru video. Făcusem 3 paşi, iar pe urmă am făcut încă 4 paşi (acelaşi desen ca mai sus):

Imaginează-ţi că după asta ne-am lovit de un zid de lavă şi ne-am întors înapoi doi paşi:

Calculul este foarte simplu:

0 + 3 + 4 − 2 = (0 + 3 + 4) − 2 = 7 − 2 = 5

Excelent, am obţinut acelaşi rezultat din calcul pe care l-am obţinut şi pe desen -- Matematică ar trebui să fie mulţumit! Însă Matematică nu e mulţumit. Fiind foarte prost, lui Matematică nu-i place că trebuie să adune 3 + 4 = 7 şi pe urmă să scadă 7 - 2 = 5.

Matematică zice aşa: în jocul tău video facem totdeauna paşi, nu-i aşa? Uneori facem paşi la dreapta, alteori facem paşi la stânga -- de ce mă înnebuneşti cu adunări şi scăderi, când toţi paşii sunt la fel de mari?! Eu vreau să fac numai adunări, indiferent de direcţia în care fac adunările alea!

Pentru că tu eşti un copil deştept, îl ajuţi pe Matematică să înţeleagă în felul ăsta: toate vor fi adunări, însă dacă scriu "+p" ai să te duci cu p paşi la dreapta, iar dacă scriu "-p" ai să te duci cu p paşi la stânga. Nu contează ce valoare are p -- poate să fie 1, sau 2, sau 386, sau 791, sau cât vrei tu: important este că pot să mă duc fie la dreapta, fie la stânga cu atâţia paşi cât hotărâm noi că este p (şi este evident că pot să mă duc cu oricâţi paşi la stânga sau la dreapta, nu e nimic special în asta).

Ca să fie clar, hai să vedem ce se întâmplă dacă la începutul jocului am noroc şi avansez p paşi la dreapta ("+p") sau dacă la începutul jocului am ghinion şi mă lovesc direct de zidul de lavă care mă trimite p paşi la stânga ("-p"). La începutul jocului câţi paşi făcusem? Niciunul, adică zero. Deci trebuie să pornesc de la zero şi să fac p paşi către dreapta sau p paşi către stânga:

Cum spuneam, Matematică vrea să facem numai adunări, aşa că cele două săgeţi din desenul de deasupra reprezintă următoarele adunări:

0 + ( + p) = + p (săgeata către dreapta)
0 + ( − p) = − p (săgeata către stânga)

O chestie interesantă în desenul de mai sus: se pare că axa numerelor nu începe la stânga cu zero şi merge doar către dreapta (săgeata către dreapta, +p) -- de fapt, se pare că pot să pornesc de la zero şi către stânga (săgeata către stânga, -p). Dar am zis mai devreme că p poate să fie oricât de mic sau de mare, deci aşa cum pot să mă duc la dreapta de la zero către 1 sau către 2 sau către 3, la fel pot să mă duc şi la stânga către... -1 sau -2 sau -3:

Deasupra sunt două axe ale numerelor, una sub alta, în care observăm două lucruri interesante:

  1. Acum axa numerelor are săgeţi şi la stânga şi la dreapta -- adică se continuă la infinit şi către "+p" (aşa cum era axa numerelor până acum), dar şi către "-p" (ceea ce e nou)
  2. Pe prima axă a numerelor am scris numerele de la dreapta lui zero cu semnul "+" în faţă, iar pe a doua axă le-am scris fără "+" în faţă -- ambele variante sunt la fel de corecte.

Din toate chestiile de mai sus, punctul (2) pare interesant: de ce este corect şi dacă pui "+" în faţă şi dacă nu pui "+" în faţă? Pare ciudat, nu-i aşa? Însă aminteşte-ţi ce-am zis mai sus: poţi să scrii la fel de bine "a" sau "0+a" -- însă ştim că dacă pui "0" la începutul unei adunări asta nu schimbă cu nimic adunarea, aşa că toate astea sunt la fel:

a = 0 + a = 0 + ( + a) = + a

De fapt, pot să pun zerouri şi plusuri la început de câte ori vreau:

a = 0 + a = 0 + ( + a) = ( + a) = 0 + (0 + ( + a)) = ( + ( + a)) = 0 + ( + ( + a)) = 0 + (0 + ( + ( + a))) = 0 + ( + ( + ( + a))) = ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( + a))))))) = ...

Deci pot să complic lucrurile oricât de mult -- dar asta înseamnă şi că pot să le simplific oricât de mult:

0 + (0 + (0 + (0 + (0 + (0 + (0 + (0 + a))))))) = ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( + a))))))) = a

Cu alte cuvinte, matematica "vrea" cumva să avanseze la dreapta pe axa numerelor -- întotdeauna "vrea" să pornească de la zero şi întotdeauna "vrea" să meargă către dreapta.[1]

Moarte scăderilor!

Să revenim acum la exemplul de deasupra în care jucam un joc şi ne loveam de un zid de lavă care ne trimitea înapoi:

Am scris acolo aşa:

0 + 3 + 4 − 2

Doar că acum aş vrea să folosim ce-am învăţat mai sus şi să rescriem acelaşi lucru în felul următor: luăm fiecare pas în parte şi-l adunăm cu următorul pas, ţinând evident cont de direcţia fiecărui pas:

0 + ( + 3) + ( + 4) + ( − 2)

Sau pe axa numerelor:

După toată povestea de mai sus poate că diferenţa dintre notaţia iniţială şi cea de deasupra nu pare prea mare, însă de fapt este o diferenţă uriaşă: nu am mai făcut nicio scădere, acum toate operaţiile sunt adunări! De-asta toate săgeţile din desenul de deasupra sunt verzi: săgeţile roşii erau scăderi, or acum facem numai adunări![2] Iar calculul este în continuare corect, pentru că ultimul termen din adunare (adică "-2") este un număr negativ. Numerele care au semnul "+" în faţă (numerele naturale, obişnuite) sunt numere pozitive; numerele care au semnul "-" în faţă sunt numere negative. Ştim deja că suma primilor trei termeni este 7:

0 + ( + 3) + ( + 4) + ( − 2) = (0 + ( + 3) + ( + 4)) + ( − 2) = (0 + 3 + 4) + ( − 2) = ( + 7) + ( − 2)

Pe de altă parte, ştim că rezultatul final este 5, deci

( + 7) + ( − 2) = 7 − 2 = 5

Da, pare ciudat, dar aşa este: dacă adunăm orice număr negativ cu orice alt număr obţinem un număr mai mic decât numărul iniţial. Hai să mai vedem câteva exemple, fără legătură cu experienţa noastră din joc:

( + 2) + ( − 1) = 2 − 1 = 1
( + 6) + ( − 4) = 6 − 4 = 2
( + 5) + ( + 3) + ( − 8) = (5 + 3) + ( − 8) = ( + 8) + ( − 8) = 8 − 8 = 0

Ştim însă că adunarea este comutativă, adică putem să aranjăm termenii unei adunări oricum vrem şi o să obţinem acelaşi rezultat:

6 + 1 = 1 + 6 = 7
3 + 2 = 2 + 3 = 5

Se dovedeşte că e la fel şi atunci când adunăm numere negative:

( + 6) + ( − 1) = ( − 1) + ( + 6) = 5
( + 3) + ( − 2) = ( − 2) + ( + 3) = 1

Totuşi pare tare ciudat să calculezi "(-2) + (+3)" -- ce înseamnă asta de fapt? Hai să revenim la exemplul nostru cu jocul video. Vom începe cu prima parte a expresiei de deasupra: "(+3) + (-2)", care ar fi echivalentul situaţiei următoare: "atunci când a început jocul am făcut trei paşi la dreapta, apoi m-am lovit de un zid de lavă care m-a trimis doi paşi înapoi":

Nicio surpriză, este echivalentul calculului

( + 3) + ( − 2) = 3 − 2 = 1

şi am ajuns într-adevăr la 1 şi pe desen. Dar noi ne întrebam ce înseamnă a doua parte a expresiei, cea în care începeam cu numărul negativ: "(-2) + (+3)". Cu alte cuvinte, în a doua variantă schimbasem ordinea celor doi termeni; în exemplul cu jocul, asta ar însemna că inversăm ordinea de mai sus: "atunci când a început jocul m-am lovit de un zid de lavă care m-a trimis doi paşi înapoi, apoi am făcut trei paşi la dreapta":

Am pornit în ambele cazuri jocul de la zero? L-am pornit. Am mers în ambele cazuri trei paşi la dreapta? Am mers. Ne-am lovit în ambele cazuri de zidul de lavă care ne-a dat înapoi doi paşi la stânga? Ne-am lovit. Este logic să ajungem de fiecare dată cu un singur pas la dreapta faţă de începutul jocului, indiferent în ce ordine s-au întâmplat lucrurile astea? Este. Şi am ajuns de fiecare dată acolo? Am ajuns. Înseamnă deci că totul e bine: adunarea este în continuare comutativă, este logic să fie comutativă şi am şi verificat că este.[3]

Numere negative de capul lor

Acum că am lămurit lucrurile astea, ce-ar fi dacă rezultatul unui calcul ar fi un număr negativ? Păi n-ar fi foarte mare brânză -- imaginează-ţi că încă de la începutul jocului ne-am lovi de zidul de lavă care ne-ar da înapoi doi paşi la stânga... şi gata, ne-am opri acolo:

Cu alte cuvinte, "calculul" (dacă-l putem numi aşa) ar fi

0 + ( − 2) = − 2

Deci rezultatul este chiar "-2". Dar ce înseamnă acest "-2" de sine stătător? Ei bine, înseamnă exact ce-ar însemna în joc: trebuie să fac doi paşi ca să ajung la începutul jocului; altfel spus, mă aflu înainte de începutul jocului, înainte de zero, aşa cum vezi pe desenul de deasupra.

Scăderi cu numere negative

Înainte de a continua, felicitări pentru că ai citit până aici! Răsplata pentru curiozitatea ta este că în acest capitol vei înţelege o chestie extrem de dubioasă:

2 − − 2 = 4

Da, da, pe bune! Dar mai întâi, hai să vedem un calcul simplu. Eşti din nou un personaj de joc video şi faci următorii paşi:

(A) + 3
(B) + 5
(C) + 2

Cu alte cuvinte, la momentul (A) faci trei paşi la dreapta, la momentul (B) faci încă cinci paşi la dreapta, iar la momentul (C) faci încă doi paşi la dreapta:

Sau, în notaţie matematică,

0 + 3 + 5 + 2 = 10

Sau, în notaţia noastră super-corectă:

0 + ( + 3) + ( + 5) + ( + 2) = 10

Ok, acum că ne-am pregătit suficient, hai să începem partea interesantă: ce-ar fi dacă am merge înapoi în timp? Am pornit jocul la zero, pe urmă la momentul (A) am ajuns la 3, la momentul (B) am ajuns la 8, iar la momentul (C) suntem la 10 paşi de la punctul de început al jocului. Ce-ar fi dacă de la momentul (C) am vrea să ajungem înapoi la momentul (B)? Ei bine, ca să ajungem de la (C) înapoi la (B) ar trebui să inversăm operaţia pe care am făcut-o ca să ajungem de la (B) la (C), nu-i aşa? Te rog asigură-te că ai înţeles afirmaţia anterioară -- este simplă din punct de vedere logic, însă este cea mai importantă frază din tot capitolul ăsta: ca să ajungi înapoi de unde ai plecat trebuie să inversezi ultima operaţie. Ei bine, care este inversul adunării? Bravo, ai ştiut răspunsul: inversul adunării este scăderea.

Deci dacă pornesc de la momentul (C), adică de la 10 paşi de la începutul jocului, şi vreau să ajung înapoi la momentul (B) înseamnă că trebuie să scad de la punctul (C) exact atâţia paşi câţi am adunat ca să ajung de la (B) la (C):

10 − ( + 2) = 10 − 2 = 8

Hei, dar stai o secundă, de ce avem o săgeată roşie în desenul de deasupra? Nu hotărâsem că declarăm moarte scăderii şi că toate operaţiile sunt adunări?! Ei bine... nu, nu neapărat. Vezi bine în exemplul ăsta că avem încă nevoie de scădere, măcar ca operaţie inversă adunării, ca să ne întoarcem de unde am plecat. Însă ai observat o chestie interesantă: culoarea săgeţii nu indică neapărat direcţia săgeţii: pot să am o săgeată verde (o adunare) care merge către dreapta, dar pot să am o altă săgeată verde (tot o adunare) care merge către stânga (atunci când adun un număr negativ, ca în capitolele de deasupra).

În tot cazul, aş vrea să ne gândim acum la aceeaşi idee (să mergem înapoi în timp), dar pornind de la alt scenariu:

(A) + 3
(B) + 5
(C) − 2

E aproape la fel ca primul scenariu de mai sus, mai puţin ultimul pas: la momentul (A) faci trei paşi la dreapta, la momentul (B) faci încă cinci paşi la dreapta, dar la momentul (C) faci doi paşi la stânga:

Sau, în notaţia noastră super-corectă:

0 + ( + 3) + ( + 5) + ( − 2) = (0 + 3 + 5) + ( − 2) = ( + 8) + ( − 2) = 8 − 2 = 6

Foarte frumos, ştiam deja toate astea. Dar acum vine bomba: cum procedăm dacă vrem să mergem înapoi în timp de la pasul (C) la pasul (B)? Simplu, zici dumneata: faci exact ce-ai făcut şi mai devreme -- inversezi pasul (C); cu alte cuvinte, porneşti de la punctul (C) şi scazi exact atâţia paşi câţi ai adunat ca să ajungi de la (B) la (C):

6 − ( − 2) = ?

Ei bine, ce fel de vrăjitorie e asta?! Cum adică "6 - (-2)", adică nu-ţi e ruşine să scrii aşa ceva? Vezi bine că nu -- ba mai mult, deja ştii unde trebuie să ajungem, nu-i aşa? Trebuie să ajungem exact acolo unde am fi ajuns dacă ne-am fi oprit la pasul (B) -- adică la 8:

6 − ( − 2) = 8

Ştiu că pare tare caraghios să scazi ceva şi să ajungi la un număr mai mare. Dar devreme eram de acord că poţi să aduni ceva şi să ajungi la un număr mai mic, aşa că de fapt nu este atât de aiurea, nu?

Note

  1. De fapt, toată matematica este doar o serie de idei de-ale oamenilor. Axa numerelor ar putea să meargă către stânga, iar semnul "+" ar putea fi orice alt semn. Totuşi, aşa cum vom vedea mai încolo în articol, adunarea ca idee este într-adevăr operaţia cea mai firească din matematica elementară (aritmetică).
  2. Corect ar fi fost să facem asta şi în desenul cu "+p" şi "-p" de mai sus, însă acolo ar fi fost greu de înţeles.
  3. De fapt noi am verificat o singură adunare: (+3) + (-2) = (-2) + (+3). Matematicienii şi oamenii de ştiinţă nu se mulţumesc niciodată cu o singură verificare atunci când spun lucruri de felul "adunarea este comutativă". Ei spun lucruri de felul ăsta numai după ce dovedesc că sunt adevărate pentru orice adunare posibilă, chiar şi pentru adunările pe care n-au avut timp să le verifice. Însă nu-ţi face griji, chiar este dovedit că orice adunare este comutativă; noi am verificat aici una singură doar ca să înţelegi că este logic să fie aşa.