Funcţii

De la Capisci

Salt la: navigare, căutare

O funcţie (cu o variabilă) este o cantitate (sau un număr) care depinde de (sau variază „în funcţie” de, sau se schimbă „în funcţie” de) altă cantitate. Mai simplu spus o funcţie este un număr care variază în funcţie de alt număr. Cam abstract, nu? Hai să vedem nişte exemple ca să înţelegem mai bine despre ce este vorba.

Cuprins

Un exemplu concret

Hai să luăm de exemplu un pătrat. După cum am învăţat deja la geometrie aria pătratului se calculează după formula „Aria pătratului”=x2, unde x este lungimea laturii. Asta ce ne spune? Că de fapt aria pătratului depinde în mod direct de lungimea laturii. Cum adică? Adică cu cat latura pătratului e mai mare, cu atât şi aria acestuia e mai mare. Mai mult decât atât, cu ajutorul formulei date putem calcula exact valoarea ariei dacă ştim lungimea laturii.

Bun, deci aria pătratului e un număr care variază în funcţie de alt număr (latura). Asta înseamnă că „Aria pătratului” este conform definiţiei o funcţie a „laturii pătratului”. Haideţi să notăm în formula de mai sus „Aria pătratului” cu A(x). Asta ne duce de la formula de la geometrie la notaţia A(x)=x2.Ce chestie! Într-o formulă de la geometrie stă ascunsă o funcţie!

Şi mai departe? Mai departe ne putem întreba ce valori ar putea lua x. Este evident că lungimea unei laturi a unui pătrat nu poate fi negativă. Acest fapt se poate nota de exemplu cu x ≥ 0 sau x ∈ [0,∞). Dar dacă x poate avea numai valori pozitive, atunci ce fel de valori poate avea A(x)? Păi tot pozitive, pentru că pătratul unui număr real este întotdeauna pozitiv. Cu alte cuvinte A stabileşte o relaţie (o legătură) între numere pozitive (valorile lui x) şi alte numere pozitive (valorile lui A(x)). Haideţi să notăm afirmaţia de mai sus în felul următor:

A:[0,\infty ) \rightarrow [0,\infty )

Ce am obţinut? Am obţinut definiţia completă a ariei unui pătrat în funcţie de latura acestuia:

A:[0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ], A(x)=x^2

Hai că n-a fost chiar aşa de greu nu?

Un alt exemplu concret

Ilustraţie cosinus

Haideţi să desenăm un cerc cu raza 1 (o unitate). Desenăm apoi o linie dreaptă orizontală care trece exact prin centrul cercului. Considerăm că centrul cercului este un punct fix de referinţă. Pentru uşurinţă îl notăm cu O şi îl numim „origine”. Punctului O îi atribuim valoarea 0. Punctele din stânga originii vor avea valori negative iar cele din dreapta – valori pozitive.

Acum ne putem imagina că un punct, un guguloi, (să-l numim P) care se „plimbă” pe această linie. Cum punctul P se plimbă pe această linie, putem măsura în orice moment distanţa de la P la O. Astfel, când P se suprapune cu O, distanţa este nulă. Când P ajunge să atingă cercul în partea dreaptă, distanta va fi 1; când P atinge cercul în partea stângă, distanţa va fi -1.[1]

Până aici toate bune şi frumoase. Mai departe începe să devină interesant: hai să lipim de punctul P o linie dreaptă verticală. Linia asta pleacă de la punctul P în sus şi are o lungime de doua unităţi. Dacă ne gândim bine, această linie este perpendiculară pe linia orizontală iniţială.

Foarte bine, şi? Şi acum începem să „plimbăm” punctul P din partea stângă originii să zicem din punctul cu valoarea -2, şi până în dreapta originii la punctul cu valoarea 2.

Ce observăm? Că înainte de -1 şi după 1 cercul nu este atins iar între -1 şi 1 linia verticală atinge (intersectează) cercul. Vom numi pentru uşurinţă acest punct Q. Ne dăm seama că poziţia punctului Q este determinată de poziţia punctului P fată de O. Asta îmi miroase a funcţie! Haideţi să asociem punctului Q o valoare. Cea mai la îndemână valoare mi se pare distanţa de la P la Q. Dacă notam distanţa OP cu x şi distanţa PQ cu y am stabilit că y variază în funcţie de x, sau y=f(x).

Vizual (intuitiv) ne dăm seama că y variază în funcţie de x dar întrebarea pe care v-aş adresa-o este: putem calcula exact valoarea lui y în funcţie de x?

Răspunsul este da! Dacă ne uităm mai bine pe desen observăm că triunghiul format din punctele O, P şi Q este un triunghi dreptunghic. Dacă auzim triunghi dreptunghic, primul lucru care ne vine în cap este „Teorema lui Pitagora”! Cine nu a auzit de faimoasa teorema?

Cum OQ este raza cercului care am presupus ca este 1 (o unitate), Teorema lui Pitagora arată în felul următor:

12 = x2 + y2

adică

y2 = 1 − x2

sau

y = \sqrt{1 - x^2}

deci funcţia noastră va fi:

f(x) = \sqrt{1 - x^2}

Foarte interesant! Dar ce valori poate avea x? Evident ca dacă punctul P se „plimbă” în afara cercului, linia verticală nu atinge cercul. Pe noi ne interesează situaţiile în care această linie atinge cercul. Pentru asta trebuie să ne plimbăm cu P între marginile cercului, adică x sau distanţa OP dacă vreţi sa varieze între -1 şi 1. Acestea fiind zise, ne putem acum întreba, ce valori poate avea y (adică distanţa PQ, adică f(x))? Evident că lungimea segmentului PQ nu poate fi mai mică decât 0 (atunci când punctul P atinge cercul în stânga sau dreapta) şi 1 (atunci când P se suprapune cu originea O iar PQ devine rază).

În concluzie am definit următoarea funcţie:

f: [-1,1] \rightarrow [0,1], f(x) = \sqrt{1 - x^2}

Celor interesaţi le-aş mai spune că funcţia asta se mai numeşte şi „funcţia cosinus” şi este folosită în foarte multe domenii ale matematicii.

Ultimele detalii

Să recapitulăm. Zisesem că o funcţie este un număr care variază în funcţie de alt număr. Acum că intuim cum merge treaba cu funcţiile vrem să stabilim exact care sunt elementele de care avem nevoie pentru a defini o funcţie? După mine avem nevoie de trei elemente: Două mulţimi (sau domenii) de numere (subnota): una în care de află x iar cealaltă unde se află f(x) (sau y, sau A din exemplele de mai sus). Din notaţia pe care deja am folosit-o

f: [-1,1] \rightarrow [0,1]

vedem că cele două mulţimi sunt legate într-un fel, fapt sugerat de săgeată. Ca să facem distincţie între cele două mulţimi pe prima o numim domeniu iar pe cea de-a doua codomeniu

Cel de-al treilea element de care avem nevoie este formula funcţiei sau dacă vreţi regula care face ca unui element din prima mulţime să îi corespundă un element din cea de-a doua mulţime.

f(x) = \sqrt{1 - x^2}

în exemplul nostru.

Asta e tot? Da, asta e tot! Toate funcţiile cu o variabilă sunt compuse din cele trei elemente despre care tocmai am vorbit. Dacă am înţeles asta, restul e doar variaţie pe aceeaşi temă.

Note

  1. Din punct de vedere academic, distanţa nu poate fi decât o valoare pozitivă. Aici am ales o convenţie rezonabilă între corectitudine strictă şi exprimare excesiv de academică (ar fi trebuit fie să introducem termeni precum „diferenţa algebrică dintre coordonata orizontală a punctului P şi origine”, fie să definim formal conceptul de coordonate carteziene; am considerat ambele variante excesive pentru un articol introductiv).